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En su breve obra "La Doctrina de los Ciclos", Jorge Luis Borges utiliza los descubrimientos del matemático Georg Cantor, para refutar la Tesis del Eterno Retorno de Friedrich Nietzsche. Su exposición es como siempre impecable y tiene el mérito de transformar en comprensible por un instante, aquello que es imposible de aprehender por la mente humana. Pero de la matemática de Cantor, Borges sólo expone lo necesario para arribar a su propósito de demostrar la falacia del filósofo alemán. Es a partir de lo que Borges dejó sin desarrollar, de donde quiero partir. Pues el escritor sabía, que de algún modo somos inmortales e innecesarios; ya que toda obra es continuada y completada por algún otro, cuando no refutada, lo que ocurre la mayoría de las veces. A Cantor siempre le interesaron los números, o más precisamente, los conjuntos de números con sus características y propiedades. El que todos conocemos es el conjunto de los números naturales. Este está compuesto por la sucesión... 1, 2, 3, 4,...y así. Pero no es el único conjunto de números que han definido los matemáticos. Hay muchos más. Por ejemplo: los números reales, los números racionales, los números irracionales, los números algebraicos y cuantos más...? Pero esto no es todo. Estos conjuntos de números que tan "grandes" son? ¿Tienen una cantidad limitada de elementos, o por el contrario su cantidad es incomensurable? Lo primero que encontró Cantor es que el conjunto de los números naturales, está compuesto por otros conjuntos, que tienen igual número de elementos que él mismo. Por ejemplo el conjunto de los números pares contiene la misma cantidad de elementos que la serie de números naturales enteros. Si al 1 le hacemos corresponder el 2, al 2 el 4, al 3 el 6, veremos que para cada número entero natural, le corresponde otro número entero pero que es par. Esto es válido para el conjunto de los impares, de los numeros primos, o de los múltiplos de 347, o cualquier otro conjunto de números que usted quiera elegir. Lo cual significa en primer lugar, que el conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, que es aquel en el cual una de sus partes es también infinita. Los pares son un conjunto que es una parte del de los naturales y es infinito. Algo así como que nuestra oreja tiene el mismo tamaño que nuestro cuerpo entero.... Para llegar a esta primera conclusión, Cantor utilizó una extensión de un método al que apelamos muchas veces en nuestro aprendizaje escolar. Para contar utilizábamos los dedos de nuestra mano, ya que contar es establecer correspondencias entre dos conjuntos. Nosotros nos conformamos con aprobar el curso y dejamos de pensar en ello. Pero Cantor fue más allá. En realidad intentó resolver las mismas preguntas que nos planteamos cuando éramos niños, la diferencia está en que nosotros dejamos de hacerlo y él no. Y continuó adelante en el nuevo Universo que comenzaba a desplegarse ante sus ojos. Utilizando el método lógico-matemático llegó a nuevas conclusiones, cada vez más sorprendentes. Examinó otros conjuntos de números y los comparó con el conjunto de los números naturales. Utilizó el método de correspondencia una a uno entre ambos. Es decir, a cada elemento de los naturales hizo corresponder uno y uno sólo de los elementos de los otros conjuntos numéricos. De este modo encontró, que hay conjuntos iguales al de los naturales en cantidad de elementos, como el de los números algebraicos Y por lo tanto son susceptibles de ser contados por el método de correspondencia. Esto no tiene en realidad nada de vertiginoso. Siempre consideramos lo infinito como algo homogéneo y uniforme, sin variaciones. Y si se nos exige un fundamento a esta idea, apelamos al "sentido común" que no es otra cosa que confesar nuestra falta de argumentos, o lo que es peor, nuestra ausencia de aptitud intelectual para comprender algo más allá de sus apariencias. Pero Cantor, no se detuvo en este sospechoso sentido, pues continuó su marcha. Entonces lo nuevo vino a él. Encontró que hay conjuntos de números que no se corresponden uno a uno con el de los naturales, sino por el contrario lo superan. Los mismos no son susceptibles de ser contados, como es el caso de los números reales. Algo así como que son más infinitos que otros infinitos! En la Antigua Cultura China el número diez mil no representaba una cantidad sino una cualidad: el de la numerosidad. A Cantor le fue dado la posibilidad, de crear quizás, un nuevo ideograma: el que representa el canon de su hallazgo. Los números transfinitos, que indican el grado de infinitud de un conjunto. A partir de su descubrimiento, sabemos que el infinito tiene grados, variaciones, que a la vez son de diferente infinitud en extensión. Y que conjuntos infinitos, son partes de infinitos mayores que los engloban y los superan. Para indicar los grados de infinitud de conjuntos infinitos, los matemáticos utilizan la primera letra del alfabeto hebreo seguida de un número. Asi tendríamos Aleph-nulo, Aleph-uno, Aleph-dos, pero no etc., porque cuantos Aleph hay en realidad...? A medida que pasaban los años, el Matemático de lo Infinito, pareció perder su vigor intelectual y su equilibrio anímico. Algunos estudiosos han señalado que comenzó a sufrir depresiones. Seguramente la etiología y dinámica de las mismas podrían ser descriptas por la psicología. Pero quisiera intentar otra explicación de su padecimiento. A medida que se internaba en el nuevo Universo de lo Infinito, se me ocurre que a Georg Cantor la realidad comenzó a transformarse en una intolerable monotonía. Ni el Sol ni la Luna, ni la callada luz del amanecer, ni el mar en su rítmico azul, ni el misterio del grito del pájaro en el silencio del valle, volvieron a encender su interés. Quizás entonces, una cierta desilusión, un cierto decaimiento, se apoderaron de sus días y de su corazón. Pero otra pasión comenzó a florecer en su mente. Cantor empezó a afirmar, que en verdad, quien había escrito las obras atribuidas a William Shakespeare fue Francis Bacon. Y lo hizo con ardor y convicción. Pues ese y no otro, eligió como único tema de su conversación, cuando fue invitado -para rendirle honores- a la celebración del 500 aniversario de la fundación de la Universidad de St. Andrews en Escocia. Y también esto fue interpretado como un síntoma de una mente extraviada. Pero prefiero otra interpretación, quizás algo fantástica, pero no menos probable. Quizás Cantor comprendió que todo aquello que sostenemos como convicciones, creencias o realidades insobornables, pueden ser absolutamente falsas y descartables a la luz de las paradojas que encontró en los Oceanos del Infinito. De allí a concluir que el destino de toda certeza es su refutación, hay sólo un paso. También su intento de encontrar una relación entre su hallazgo y la metafísica platónica, fueron vistas como extravagancias de un espíritu sin gobierno. Creo que el matemático sospechó la existencia de un puente entre la matemática transfinita, las Ideas y la eternidad, sólo que no tuvo tiempo de demostrarlo. Para dar una aproximación concreta de la magnitud y consecuencias de su hallazgo, imagine que usted entrase a la Catedral de Reims y con minuciosidad comprobase que la misma contiene infinitas catedrales que se conjugan unas con otras y la superan, dentro de una ordenada armonía y diseño... De esto se trata el descubrimiento del matemático que siempre sintió nostalgia por su Rusia natal. Agregó a una intuición una novedad, ya que fue Borges quien sospechó que, de existir una divinidad, ésta tendría por morada un laberinto. Georg Cantor entró en él y dibujó con asombro y precisión, su imposible arquitectura.
Carlos Fleitas
Recomiendo dos magníficos sitios Web para profundizar en la
matemática y biografía de Georg Cantor
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